运想重工：折叠式高空作业车柔性臂建模

折叠式高空作业车臂架是高空作业车的升降机械运动部分，由臂架、关节和末端工作台构成，是一系列连接在一起的开链臂杆，对臂架系统建模即是对这些开链臂杆推导数学模型，最终目的是为控制策略的研究提供动力学基础。

柔性机械臂建模广泛地使用牛顿-欧拉法、雷茨展开法、拉格朗日和假设模态法、凯恩方程法等来推导柔性臂的动力学方程，K.HLOW等利用拉格朗日方程得到非线性受限柔性机械臂的运动方程;Huston等采用Kane方程法建立了柔性多体学模型。而折叠式高空作业车臂属于柔性作业臂，其柔性多体动力学模型也是基于这几类方法建立的。

对高空作业车柔性模型的建模研究开始于结构较折叠式简单的伸缩式高空作业车，QinghuiYuan等将伸缩式高空作业车视为一个未知模型，并未对其建立数学模型，而是根据臂长和旋角建立了作业平台位置模型，根据液压缸驱动杆位移，利用三角函数关系建立关节旋角模型，最终通过传感器检测信号，反馈控制液压缸驱动杆位移和臂长来控制作业平台位置;对柔性臂的建模使用了悬臂梁理论，仅计算了静态的柔性变形，并通过静态变形补偿器来控制旋角以控制作业平台达到期望位置。由于只建立了各控制量的传递关系，未建立实际系统的数学模型，这对之后的控制器设计和调试加大了难度。

王富亮、经迎龙对折叠式高空作业车建模的研究时，将作业臂视为刚性构件，将作业平台视为一个有阻尼摆臂柔性系统,他们利用D-H法建立各臂杆坐标传递关系，并求得各作业臂上某一点的位移、速度，进而求得各作业臂的动能和势能，最终利用拉格朗日方程法建立折叠式高空作业臂杆模型，该模型由于考虑了转台的转动，为一个三维模型。另外，王富亮在文中还建立了柔性地基模型，考虑了柔性地基对高空作业车动态稳定性的影响。文中基于刚性假设的建模方法未考虑作业臂柔性变形对作业平台的振动和定位的影响;将驱动输入等效与执行器的驱动力矩相对应的转动力矩，并未考虑液压缸驱动与作业臂实际位置的非线性影响，这两点对实际系统建模是很重要的。

折叠式高空作业车臂架建模时，考虑了臂杆柔性变形的对作业臂末端的振动和定位的影响，利用假设模态法表示了作业臂的弹性变形，并考虑了液压缸的柔性对系统的影响。由于文中建模仅考虑了上、下臂，并将工作平台固结在上作业臂末端，考虑到转台水平方向的转动对作业臂弹性变形影响不大，未建立转台的转动模型，因此该模型为一个平面二维模型;由于未建立摆臂系统，因此文中未考虑作业臂运动对摆臂受迫振动的影响，而该受迫振动相对作业臂的弹性振动幅度是不可忽略的。

湖南运想重工在建模时，为了简化和重点地表达柔性作业臂运动对摆臂和工作台的影响，未建立液压缸对作业臂繁琐复杂的非线性输入;在处理工作平台模型时，由于作业平台是考阻尼油缸进行调平的，所以这里把作业平台看作一个带阻尼的单摆系统;在处理各作业臂关节摩擦力时，由于关节摩擦力系数跟一个跟角度和角速度成复杂关系，难以建模，并且其相对惯性力、向心力和重力矩来说非常小，因此可忽略摩擦力矩，忽略项对模型建模影响不大。由于拉格朗日方程法的简单，以及假设模态法能完全表示柔性构件的动态特性，湖南运想重工结合拉格朗日和假设模态法，推导折叠式高空作业车的柔性多体动力学方程。

柔性多体系统的动力学方程是非线性、强耦合方程，目前只能利用计算数值仿真求解该类型方程。由于柔性多体系统中有慢变分量和快变分量，会造成数值求解过程中出现“刚性方程”问题，另外传统算法每步计算的舍入误差和截断误差，以及这些误差在以后计算中的传播，都会对算法的精度和稳定性带来影响，因此国内外很多研究人员在寻求一种对计算步长灵敏度不高，计算精度高且稳定性强的计算方法上做了很多研究工作，研究出多种适合于求解刚性方程问题计算方法，例如隐式Runge-Kutta法、Gear法、MEBDF法等，其中隐式Runge-Kutta法作为MATLAB的ode15s求解器的计算方法，已得到广泛应用。